... Prämissen``¹

Vgl. [1,2], [3, S. 131 ff], [4, S. 108 ff], [5, S. 49 ff].

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...$B$²

Der Index K kann fehlen, wenn klar ist, um welchen Kalkül es sich handelt, oder wenn von beliebigen Kalkülen die Rede ist.

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... werden³

Damit ist verträglich, daß eine minimale Lösung  $X_{\rm{m}}$  (siehe Abschnitte 4 und 5), aus der allein im allgemeinen Falle die Konklusion nicht folgt, sich im besonderen als mit  $B$  äquivalent erweist; womit sich zugleich die Aufgabe stellt, notwendige und hinreichende Bedingungen dafür anzugeben, daß dieser Fall eintritt.

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... behandelt⁴

Vgl. [3, S. 131 ff].

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... zugrunde⁵

Dieser unterscheidet sich von dem in [8, S. 28 ff, S. 40 ff] verwendeten Kalkül BGS$^{\vdash }$ nur dadurch, das dessen Axiom 2.4
  $\vdash$   $a = ab + a\overline{b}$, $a = ( a + b ) ( a + \overline{b} )$   äquivalent durch die Regeln   $a \leq b$   $\dashv \vdash$   $a\overline{b} \leq 0$   und    $a \leq \overline{b}$   $\dashv \vdash$  $ab \leq 0$   ersetzt ist.

Wie man diesen Kalkül durch bestimmte Zusätze bis zur (vollen) Urteilslogik BL $_{\rm{u}}^{\vdash}$ (äquivalent mit Aussagen- und Prädikatenlogik) erweitert, wird in [8, S. 64 ff] gezeigt.

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... Symbolik⁶

Zur Äquivalenz jeweils zugehöriger Kalküle vgl. [8, S. 32 ff].

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... zugrundeliegt⁷

Eine nach Peirce sog. ,,Abduktion``, vgl. [3, S. 131].

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... Umfangsdiagramm⁸

Man könnte ebensogut Inhaltsdiagramme verwenden, vgl. [4, S. 64 ff].

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... läßt⁹

Unter Verwendung folgender Axiome für ,,$\vdash$``:

1)

$A$, $B$  $\vdash$  $A$

$A$, $B$  $\vdash$  $B$

2)

Wenn   $A$  $\vdash$  $B$   und   $B$  $\vdash$  $C$, dann   $A$  $\vdash$  $C$.

3)

Wenn   $A$  $\vdash$  $B$   und   $A$  $\vdash$  $C$, dann   $A$  $\vdash$  $B$, $C$.

$A$, $B$, $C$  sind (eventuell leere) Systeme von Kalkül-Ausdrücken.

Die eine Richtung der zu beweisenden Äquivalenz erhält man ohne weiteres durch Anwendung der Minimalitätsdefinition b) (,,Für alle $Y$: ...``) auf $B$.

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...$X$¹⁰

Definiert man: $A$$R_{\rm{C}}$$B$   genau wenn   $A$, $C$  $\vdash$  $B$   und

                      $A$ $R_{\rm{C}}^{'}$$B$   genau wenn   $A$, $C$  $\vdash$  $B$   und   $B$, $C$  $\vdash$  $A$,

so wird  $R_{\rm{C}}$  eine sog. Quasi-Ordnung und   $R_{\rm{C}}^{'}$  eine Äquivalenzrelation.

Ähnlich kann man auch BL$^{\vdash }$-intern definierien:

$a \: ^{\leq}_{\rm{C}} b$   $:\dashv \vdash$  $ac \leq b$   und    $a \: ^{=}_{\rm{C}} b$   $:\dashv \vdash$  $ac \leq b$, $bc \leq a$; es gilt dann:   $a \: ^{\leq}_{\rm{1}} b$  $\dashv \vdash$  $a \leq b$   sowie    $a \: ^{=}_{\rm{1}} b$  $\dashv \vdash$  $a = b$.

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... Fälle¹¹

Da man im Kalkül BL$^{\vdash }$ über Termnegation verfügt und daher alle syllogistischen Relationen  a, e, ..., ö  ausdrücken kann, sind durch die Fälle 1 - 4 alle hier in Frage kommenden Möglichkeiten erschöpft.

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...$x \not\leq y$¹²

Gleichungen und negierte Gleichungen brauchen nicht gesondert behandelt werden, da sie sich in der Boole-Schröderschen Algebra bzw. in der Begriffslogik bekanntlich auf jeweils äquivalente $0$-(bzw. $1$-)Subsumtionen bringen lassen:

$x = y$  $\dashv \vdash$   $x\overline{y} + \overline{x}y \leq 0$             $x \not = y$  $\dashv \vdash$   $x\overline{y} + \overline{x}y \not\leq 0$

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... $b \cdot c \leq 0$¹³

Dies entspricht   $a$ë$d$, $b$e$c$. Da die Syllogistik im klassischen Sinne weder  $0$  noch  $1$  kennt, sollte man vielleicht lieber $\overline{a} \leq d$ und $b \leq \overline{c}$   o.ä. schreiben. Wir bevorzugen i.a. die termnegationsfreie Schreibweise oder eine solche, die den Zusammenhang von syllogistischer und minimaler Lösung zu verdeutlichen geeignet erscheint.

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... $b \cdot c \leq d$¹⁴

Diese Lösung gilt auch schon für distributive Verbände bzw. Begriffslogiken. Distributivität ist aber wohl erforderlich, da man zum bequemen Nachweis der Lösungseigenschaft die sog. Schnittregel (vgl. [7]) zu benötigen scheint.

Die angegebene Lösung erledigt auch gleich den allgemeinen Fall mit n Prämissen und m Konklusionen:

$a_{\rm{1}} \leq b_{\rm{1}}$, ..., $a_{\rm{n}} \leq b_{\rm{n}}$, $X$  $\vdash$   $c_{\rm{1}} \leq d_{\rm{1}}$, ..., $c_{\rm{m}} \leq d_{\rm{m}}$, da man Subsumtionen stets in äquivalente $0$-Subsumtionen umformen und diese dann in eine einzige zusammenfassen kann (Beweis mit vollständiger Induktion).

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... geben¹⁵

Abgesehen von der trivialen Lösung   $X_{\rm{}} = B$  , hier also    $X_{\rm{m}} := c \leq d$.    $X_{\rm{m}} = B$   ist im Übrigen eine minimale Lösung für alle vier Fälle, hier allerdings die einzig mögliche.

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... lassen¹⁶

Vgl. [8, S. 31 unten, S. 35 Theorem 16), dabei $c$ durch $0$ ersetzt, S. 47 Theorem 21)].

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...$s \not\leq 0$¹⁷

Die Venn-Minimalität der Lösung ersieht man daraus, daß es keine Möglichkeit gibt, zu den mit ,,-`` verbundenen Sternchen ein weiteres hinzuzufügen und damit    $r + s \not\leq 0$   abzuschwächen, ohne damit zugleich die Beweisbarkeit der Konklusion   $s \not\leq 0$   aufzugeben.

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...$s \leq 0$¹⁸

Triviale Sonderlösung ist hier, wie schon oben angemerkt, die Konklusion selbst, also   $s \leq 0$. Diese Lösung ist auch Venn-minimal. Über die Brauchbarkeit dieser Lösung kann man natürlich streiten.

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...-Theoremen¹⁹

Vgl. [8, S. 41 f].

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...$bc \leq d$²⁰

Vgl. [8, S. 35 Theorem 16)].

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...$s \not\leq 0$²¹

Vgl. [8, S. 41 f].

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... Begriffslogik``²²

Vgl. [8, S. 71 ff].

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... sind²³

Vgl. Fußnote 9).

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... zuzulassen²⁴

Schon in BL $^{\vdash}_{\rm{u'}}$ ist z.B.   $( r \leq s ) + ( s \not\leq 0 )$   eine minimale Lösung für den Fall 4' (siehe Abschnitt 5). Im übrigen läßt sich jede Lösung $X$ durch Addition der Konsequenz $B$ ,,zwangsminimalisieren``.

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... theoretischen²⁵

Man könnte sich z.B. fragen, unter welchen Bedingungen die Transitivitätsregel   $a \leq b$, $b \leq c$  $\vdash$  $a \leq c$   umkehrbar ist. Die Antwort besteht in der Minimallösung des Rückschlußproblems:   $a \leq c$, $X$  $\vdash$  $a \leq b$, $b \leq c$.

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... ai²⁶

Vgl. [3, S. 142], [4, S. 108].

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