4.4 Der Klassenkalkül

Die Aussagenlogik ist zur Darstellung derjenigen logischen Zusammenhänge ausreichend, bei denen die Aussagen als ungetrenntes Ganzes betrachtet werden. Nicht jedoch ist sie geeignet, Begriffsverhältnisse darzustellen, wie dieses z.B. mit der Begriffslogik möglich ist.

Gelöst wurde das Problem z.B. durch einen Rückgriff auf die Teilmengenbeziehung der Mengenlehre, bzw. auf andere Beziehungen zwischen Mengen. Dazu wurde die Mengenalgebra in die Aussagenlogik als Rahmenkalkül eingebettet.

In der Mengenalgebra sind Terme ( Verknüpfungen durch $\cap$, $\cup$ und $\neg$ ) vollständig getrennt von Formeln ( Beziehungen mit $\subseteq$ oder = ). In logischen Kalkülen darf man alle Formeln auch als Terme behandeln, in einigen sogar auch alle Terme als Formeln. Diese Unterscheidung bietet eine interessante, rein syntaktische, Unterscheidung von logischen und nicht-logischen Kalkülen.

Entsprechend ihres nicht-logischen Charakters war die logische Einbettung der Mengenalgebra also notwendig, um eine Logik zu erhalten. Zur Unterscheidung von der Mengenalgebra sagt man nicht ,,Menge``, sondern ,,Klasse`` und nennt den Kalkül ,,Klassenkalkül``.

Bei Hilbert-Ackermann [19] war eine Klasse der Individuenbereich, auf den die Klasseneigenschaften zutrafen. Der Individuenbereich ist jedoch im allgemeinen nur ein Teil des tatsächlichen Umfangsbereichs einer Eigenschaft, eben nur die Individuen. Diese Klassendefinition führt zu Problemen mit der Inhalts-Umfangs-Relation ( mehr Inhalt - weniger Umfang und umgedreht ), wenn man Umfang mit Klasse gleichsetzt. Albert Menne [21] korrigierte die Hilbertsche Klassendefinition, übernahm andererseits aber Bolzanos Kritik an der Inhalts-Umfangs-Relation, die auf einer solchen ,,schiefen`` Inhalts- und Umfangsdefinition beruhte.

Die Klassenlogik ist also die Einbettung eines Booleschen Verbandes in einen spezielleren Booleschen Verband. Beide Verbände können mit Venn-Diagrammen behandelt werden.

4.4.1 Mengenlehre und Elementbeziehung

Üblicherweise wird allerdings die Mengenlehre nicht, wie im Abschnitt 4.1 geschehen, auf der Basis der Teilmengenbeziehung, sondern auf der Elementbeziehung aufgebaut. Dieses geschieht oftmals wie folgt:

Man sagt zwei Mengen $X$ und $Y$ sind gleich, und schreibt $X = Y$, genau dann, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Wenn eine Menge $X$ nur aus Elementen besteht, die alle auch einer zweiten Menge $Y$ angehören, so nennt man $X$ eine Teilmenge von $Y$ und schreibt $X \subseteq Y$.

Zwei besondere Mengen, die immer wieder auftauchen, haben spezielle Namen. Die eine nennt man Universalmenge, sie ist definiert als die Menge aller Elemente des Untersuchungsbereichs. Jede Menge ist daher Teilmenge der Universalmenge, die auch mit dem Symbol 1 bezeichnet wird.

Die andere Spezialmenge ist definiert als die Menge, die überhaupt kein Element enthält, genannt Nullmenge und auch mit dem Symbol 0 bezeichnet. Die Nullmenge ist damit Teilmenge von jeder Menge.

Eine Einsmenge ist definiert als eine Menge, die genau ein Element enthält.

Jeder Menge $X$ wird eine Komplementmenge $X'$ zugeordnet, die alle Elemente enthält, die zur Universalmenge, aber nicht zur Menge $X$ gehören.

Die Menge $X \cup Y$ ist definiert als die Menge der Elemente, die entweder in der Menge $X$ oder in der Menge $Y$ oder in beiden Mengen enthalten sind.

Die Menge $X \cap Y$ ist definiert als die Menge der Elemente, die sowohl in der Menge $X$ als auch in der Menge $Y$ enthalten sind.