4.3 Die Aussagenlogik

Im Gegensatz zur Begriffslogik untersucht die Aussagenlogik nicht Verknüpfungen von - und Beziehungen zwischen - Begriffen, sondern Verknüpfungen von - und Beziehungen zwischen - Urteilen. Während sich in der Begriffslogik Urteile als aus Begriffen zwischen denen eine Beziehung besteht, zusammengesetzt darstellen, sind die Urteile in der Aussagenlogik atomare, d.h. nicht weiter zerlegbare Gebilde. Diese atomaren Bestandteile können wahr oder falsch sein. Gegenstand der Aussagenlogik ist, wie sich die ,,Wahrheitswerte`` der atomaren Bestandteile zu Wahrheitswerten komplexer sprachlicher Gebilde fortsetzen lassen.

4.3.1 Syntaktische Definition der Aussagenlogik

Grundzeichen	A   B   C   ...		Variablen
	0   1		Konstanten
	$\rightarrow$   $\leftrightarrow$		Beziehungszeichen
	$\neg$   $\vee$   $\wedge$		Verknüpfungszeichen

Ausdrücke	Terme
	1. Zeichen des Alphabetes (Variablen und Konstanten), die auch (mehrfach) mit Indizes oder Exponenten (aus dem Alphabet) versehen sein dürfen.
	2. Sind $S$ und $T$ Terme, so auch $S \wedge T$ und $S \vee T$; ist $S$ ein Term, so auch $\neg S$.

3. Ist $S$ ein Term, so ist $S$ auch eine Formel.

	Formeln
	1. Zeichen des Alphabetes, die auch (mehrfach) mit Indizes oder Exponenten (aus dem Alphabet) versehen sein dürfen.
	2. Sind $S$ und $T$ Terme, so sind $S \rightarrow T$ und $S \leftrightarrow T$ Formeln.
	3. Sind $A$ und $B$ Formeln, so auch $A \rightarrow B$, $A \leftrightarrow B$, $A \wedge B$, $A \vee B$; ist $A$ eine Formel, so auch $\neg A$.

Die eindeutige Lesbarkeit der Ausdrücke wird nötigenfalls durch Setzen von Klammern gewährleistet.

In dieser Beschreibung scheint entweder die Kategorie Formel oder die Kategorie Term überflüssig zu sein. Diese Darstellung wurde jedoch bewußt gewählt, um deutlich zu machen, daß zusätzlich zu den Bedingungen der formalen Sprache der Begriffslogik in der Aussagenlogik noch gilt, daß alle Terme auch Formeln sind. Da in der Begriffslogik bereits alle Formeln wie Terme behandelt werden durften, werden diese beiden Begriffe hier damit tatsächlich äquivalent. Damit werden dann auch alle Verknüpfungszeichen zu Beziehungszeichen.

Diese syntaktische Definition der Aussagenlogik enthält im Prinzip nur die Beschreibung der formalen Sprache. Sie ist im gewissen Sinne nicht vollständig, und daher benötigt man zusätzliche Definitionen.

4.3.2 Semantische Definition der Aussagenlogik

Die Elemente der Menge $\{0,1\}$ heißen Wahrheitswerte.

Eine Belegung ist eine Funktion ${\cal A}:{\cal D} \longrightarrow \{0,1\}$, wobei ${\cal D}$ die Menge aller Formeln ist. ${\cal A}$ wird auch Interpretation genannt. Dann gilt:

1.

${\cal A}(F \wedge G) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & {\rm falls}~{\cal A}(F) = 1~{\rm und}~{\cal A}(G) = 1 \\ 0, & {\rm sonst} \end{array} \right.$

2.

${\cal A}(F \vee G) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & {\rm falls}~{\cal A}(F) = 1~{\rm oder}~{\cal A}(G) = 1 \\ 0, & {\rm sonst} \end{array} \right.$

3.

${\cal A}(\neg F) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & {\rm falls}~{\cal A}(F) = 0 \\ 0, & {\rm sonst} \end{array} \right.$

Die Beziehungszeichen $\rightarrow$ und $\leftrightarrow$ sind wie folgt definiert:

$F \rightarrow G$	als	$\neg F \vee G$
$F \leftrightarrow G$	als	$( F \rightarrow G ) \wedge ( G \rightarrow F )$

Die Wirkung der Operationen $\wedge$, $\vee$ und $\neg$ kann auch durch Verknüpfungstafeln dargestellt werden:

$$\begin{array}{c\vert c\vert\vert c}{\cal A}(F) & {\cal A}(G) ... ...ne 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}$$

$$\begin{array}{c\vert c\vert\vert c}{\cal A}(F) & {\cal A}(G) ... ...ne 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}$$

$$\begin{array}{c\vert\vert c}{\cal A}(F) & {\cal A}(\neg F) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}$$

Aus der Definition von ${\cal A}(F)$ läßt sich erkennen, daß das Symbol ,,$\wedge$`` das umgangssprachliche Wort ,,und``, ,,$\vee$`` das ,,oder`` und ,,$\neg$`` das Wort ,,nicht`` modelliert. Mit Hilfe von ${\cal A}$ bildet man also die zunächst ,,bedeutungslosen`` Ausdrücke der syntaktischen Definition der Aussagenlogik in einen Bereich ab, in dem sie eine Bedeutung haben.

Auch die Beziehungszeichen $\rightarrow$ und $\leftrightarrow$ lassen sich durch ,,Verknüpfungstafeln`` darstellen:

$$\begin{array}{c\vert c\vert\vert c}{\cal A}(F) & {\cal A}(G) ... ...ne 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}$$

$$\begin{array}{c\vert c\vert\vert c}{\cal A}(F) & {\cal A}(G) ... ...ne 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}$$

,,$\rightarrow$`` steht für ,,impliziert`` oder auch ,,wenn dann``, während ,, $\leftrightarrow$`` für ,,genau dann wenn`` steht.

Definition 4.1 (gültig, erfüllbar)   Sei $F$ eine Formel und ${\cal A}$ eine Belegung. Falls ${\cal A}$ für alle in $F$ vorkommenden atomaren Formeln definiert ist, so heißt ${\cal A}$ zu $F$ passend.

Gibt es eine passende Belegung ${\cal A}$ zu $F$ mit ${\cal A}(F) = 1$, so heißt $F$ erfüllbar, sonst unerfüllbar.

Gilt für jede passende Belegung ${\cal A}$ zu $F$: ${\cal A}(F) = 1$, so heißt $F$ gültig oder auch Tautologie.

4.3.3 Eine Axiomatik der Aussagenlogik

Auch für die Aussagenlogik kann man ein Axiomensystem zur Ableitung aussagenlogischer Ausdrücke aufstellen. Das im folgenden vorgestellte Axiomensystem beruht auf der bisherigen formalen Sprache. Es basiert lediglich auf den Zeichen $\rightarrow$ und $\neg$ und stammt bereits von G. Frege, wurde allerdings von J. Lukasiewicz und A. Tarski [18] vereinfacht. Die anderen Zeichen werden mittels zusätzlicher Axiome aus diesen definiert. Es gibt zahlreiche andere Axiomensysteme, die sich aber letztlich alle als äquivalent erwiesen haben.

U1

$A \rightarrow ( B \rightarrow A )$

U4

$\begin{array}{c}\infer{B}{A & A \rightarrow B}\end{array}$

U2

$( A \rightarrow ( B \rightarrow C ) ) \rightarrow ( ( A \rightarrow B ) \rightarrow ( A \rightarrow C ) )$

U3

$( \neg A \rightarrow \neg B ) \rightarrow ( B \rightarrow A )$

Bei dem Axiom U4 handelt es sich um den bekannten ,,modus ponens``. Mit Hilfe eines solchen Axiomensystems ist es möglich, alle und nur, Tautologien abzuleiten ( Korrektheits- und Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik, Hilbert-Ackermann [19] ).

Man muß sich fragen, warum in üblichen Darstellungen der Aussagenlogik nicht von Anfang an eine ordentliche syntaktische Definition der Aussagenlogik eingeführt wird, die z.B. obiges Axiomensystem enthält. Dann könnte man auf die gesamte semantische Definition verzichten, denn diese enthält eine wichtige Grundfiktion. Man tut so, als wüßte man in genügenden Maße, wie man in der Umgangssprache mit den Wörtern ,,und``, ,,oder`` und ,,nicht`` umgeht. Dabei zeigt allein die Diskussion um das ,,oder`` ( ausschließlich oder nicht ? ), daß dem nicht so ist. In einem gewissen Sinne ist auch die Umgangssprache ein Kalkül, die Abbildung der bedeutungslosen syntaktischen Ausdrücke in den Bereich der Umgangssprache eine Art Übersetzung in eine anderen Kalkül, und zwar in einen wesentlich stärkeren. Im Prinzip hat man das Problem also nur in einen anderen Kalkül verschoben, in Wirklichkeit aber nichts gewonnen.

4.3.4 Aussagenlogik - Boolescher Verband

Satz 4.17  

Die vorgelegte aussagenlogische Axiomatik ist ein Boolescher Verband, wenn man $\rightarrow$ mit $\sqsubseteq$ übersetzt, sowie $\wedge$ mit $\sqcap$, $\vee$ mit $\sqcup$, 0 mit 0, 1 mit 1 und $\overline{~}$ mit $\neg$.

Beweis: Es ist nachzuweisen, daß sich alle Axiome des Booleschen Verbandes aus den Axiomen der Aussagenlogik nach Übersetzung ableiten lassen. Um uns das Leben zu vereinfachen, werden wir den Korrektheitssatz und den Vollständigkeitssatz von Hilbert-Ackermann benutzen. Es genügt also nachzuweisen, daß die Axiome des Booleschen Verbandes nach Übersetzung Tautologien sind.

(V1a)

$$\begin{array}{c\vert c\vert c\vert\vert c\vert c\vert c\vert ... ... 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}$$

(V1b)

$$\begin{array}{c\vert c\vert c\vert\vert c\vert c\vert c\vert ... ... 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}$$

(V2a)

$$\begin{array}{c\vert c\vert\vert c\vert c\vert\vert c}{\cal A... ...1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}$$

(V2b)

$$\begin{array}{c\vert c\vert\vert c\vert c\vert\vert c}{\cal A... ...0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}$$

(V3a)

$$\begin{array}{c\vert c\vert\vert c\vert\vert c}{\cal A}(F) & ... ...\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}$$

(V3b)

$$\begin{array}{c\vert c\vert\vert c\vert\vert c}{\cal A}(F) & ... ...\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}$$

(V4a)

$$\begin{array}{c\vert c\vert c\vert\vert c\vert c\vert c\vert ... ... 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}$$

(V4b)

$$\begin{array}{c\vert c\vert c\vert\vert c\vert c\vert c\vert ... ... 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}$$

Größtes/Kleinstes Objekt

$$\begin{array}{c\vert\vert c\vert\vert c}{\cal A}(F) & {\cal A... ... \leftrightarrow A)\\ \hline 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}$$

Komplement

$$\begin{array}{c\vert\vert c\vert c\vert\vert c}{\cal A}(F) & ... ...htarrow 0) \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}$$

Auch hier wäre noch die Substitutionsregel des Booleschen Gleichungskalküls zu beweisen. Dieser Beweis geht jedoch nicht über den Beweis in Abschnitt 4.1.2 hinaus, da es eine Beziehung zwischen ,, $\longrightarrow$`` und ,,$\vee$`` bzw. ,,$\neg$`` gibt, die den Beweis auf die ,,normalen`` Verknüpfungszeichen reduziert.

Die Aussagenlogik ist ein Boolescher Verband. Die andere Richtung gilt nicht, denn ein Boolescher Verband bietet bereits rein von seiner formalen Sprache her keine Möglichkeit, einen einzelnen Term als Voraussetzung oder Ergebnis einer Ableitung zu bekommen. Dort gibt es immer nur Formeln, also Ausdrücke der Form $a = b$ oder $a \sqsubseteq b$.

4.3.5 2-wertige Boolesche Verbände

Ein aussagenlogisches Urteil ist entweder wahr oder falsch, etwas formaler: Für jedes Objekt $a$ gilt: Es ist $a = 1$ oder $a = 0$.

Versucht man dieses Verhalten auf der Basis eines Booleschen Verbandes in Regeln zu gießen, so erhält man z.B.:

$$\infer{a \not = 1}{a = 0} \hspace{3cm} \infer{a = 0}{a \not = 1}$$

,,Wenn $a$ gleich 0 ist, dann ist $a$ ungleich 1, und umgekehrt``

Andere Varianten ergeben sich durch Kontraposition der Regeln. Mit diesen Regeln erreicht man, daß sich der Bildbereich Boolescher Funktionen auf zwei speziell ausgezeichnete Werte reduziert. Nachwievor gibt es aber keine Möglichkeit, Ausdrücke zu erzeugen, die keine Beziehungszeichen enthalten. Die Zweiwertigkeit genügt also noch nicht, um die Aussagenlogik zu erhalten.

4.3.6 Das Urteilsprinzip

Wir haben gesehen, daß die erweiterte Begriffslogik ein spezieller Boolescher Verband ist. Ebensolches gilt für die Aussagenlogik, wobei Zweiwertigkeit zur Charakterisierung nicht ausreicht.

Der wesentliche Unterschied zwischen Begriffen und Urteilen ist, daß letztere immer behauptet werden, während daß für Begriffe im allgemeinen nicht gilt. So ist z.B. die Frage nach dem Wahrheitswert des Begriffes ,,Hund`` ziemlich sinnlos, wohingegen diese Frage bei dem als Begriff betrachteten Urteil ,,Alle Hunde sind braun`` durchaus Sinn macht.

Mit ,,Alle Hunde sind braun`` stellt man eine Behauptung auf, nämlich daß der vorgelegte Satz wahr sei. Dieses Prinzip, das sogenannte Urteilsprinzip, kann wie folgt charakterisiert werden:

Jedes Urteil $A$ ist gleichbedeutend mit dem Urteil ,,$A$ ist wahr`` bzw. ,,$A$ gilt``.

Formuliert man dieses Prinzip im oben vorgelegten begriffslogischen Kalkül BL$^{\vdash }$, so ergeben sich die folgenden Regeln:

A13

$\begin{array}{c}\infer{A = 1}{A}\end{array}$

$\begin{array}{c}\infer{A}{A = 1}\end{array}$

Die Axiome der erweiterten Begriffslogik (A1 - A12) zuzüglich des Axioms A13 ergeben einen Kalkül, genannt BL$^{\vdash}_{u}$, der nach Übersetzung mit der Aussagenlogik äquivalent ist. Dieser Beweis soll hier nicht geführt werden, der interessierte Leser sei auf [8] verwiesen.

Dieses Ergebnis: ,, Die Aussagenlogik ist eine spezielle Begriffslogik`` löst auch die seit Beginn bis zur Mitte dieses Jahrhunderts sehr kontrovers und sehr polemisch geführte Diskussion zwischen Begriffs- und Aussagenlogikern, welches denn nun die ,,richtige`` Logik sei.

Uns ermöglicht dieses Ergebnis eine einfache Einbindung der Aussagenlogik in den Bereich der durch Venn-Diagramme zu bearbeitenden Booleschen Verbände. Mit Hilfe des Urteilsprinzips werden Ausdrücke ohne die ,,Beziehungszeichen`` $\rightarrow$ und $\leftrightarrow$ in Formeln umgewandelt, die dann als Schraffuren in die Diagramme eingetragen werden können. Sternung wird aufgrund der Zweiwertigkeit der Aussagenlogik nicht benötigt.

Umgedreht können die Schraffuren in den Diagrammen (Unterordnungen) auch wieder mit Hilfe des Urteilsprinzips in Terme der Aussagenlogik verwandelt werden.

Diese Operationen haben allerdings durch den Benutzer, den Interpreten der Diagramme zu geschehen.

Auf der einen Seite läßt sich also Begriffslogik mit Venn-Diagrammen durchführen, aber wie eben zu sehen war auch Aussagenlogik. Man könnte daher auf den Gedanken kommen, Begriffslogik und Aussagenlogik wären irgendwie äquivalent, was im Gegensatz zu der obigen Behauptung stände, daß die Aussagenlogik eine spezielle Begriffslogik ist.

Äquivalenzbeweise zwischen zwei Kalkülen gelten immer nur relativ zu der verwendeten Übersetzung. Ist die Übersetzung sehr stark, wie z.B. durch das Einbauen zusätzlicher Axiome, die dann mittels der Übersetzung implizit angewendet werden, so ergeben sich Äquivalenzbeweise ohne jede Aussagekraft. So ist es auch im Fall Aussagenlogik - Venn-Diagramm. Das verstärkende Axiom steckt als Urteilsprinzip in der Übersetzung.