4. Der Kalkülvergleich

Ähnlich wie Begriffe kann man auch Kalküle miteinander vergleichen. Insbesondere das Verhältnis der Über- und Unterordnung ist von Bedeutung. Es läßt sich u.a. folgendermaßen definieren (wobei wir zunächst den Fall betrachten, daß die beiden Kalküle dasselbe Vokabular besitzen):

Der Kalkül K$_{\rm {1}}$ heißt stärker/spezieller als der Kalkül K$_{\rm {2}}$, wenn

1)

alle im Kalkül K$_{\rm {2}}$ beweisbaren Formeln auch in K$_{\rm {1}}$ beweisbar sind, oder:

2)

zusätzlich zu 1) auch noch alle in K$_{\rm {2}}$ beweisbaren Regeln in K$_{\rm {1}}$ beweisbar sind, oder:

3)

alle Grundformeln und Grundregeln von K$_{\rm {2}}$ in K$_{\rm {1}}$ beweisbar sind, oder:

4)

alle Grundformeln von K$_{\rm {2}}$ in K$_{\rm {1}}$ beweisbar und alle Grundregeln von K$_{\rm {2}}$ in K$_{\rm {1}}$ zulässig sind, d.h. von in K$_{\rm {1}}$ beweisbaren Prämissen zu in K$_{\rm {1}}$ beweisbaren Konklusionen führen.

Zwei Kalküle heißen äquivalent/gleichwertig, wenn jeweils der eine stärker als der andere ist.

Unterscheiden sich zwei zu vergleichende Kalküle im Vokabular, so wird eine ,,Übersetzung`` benötigt, die in einem bestimmten Sinne eindeutig sein muß, um gewisse Entartungsfälle auszuschließen⁶, und obige Definitionen müssen sinngemäß geändert werden.

Für den Vergleich etwa des Kalküls BL $_{\rm {u}}^{\vdash}$ (ohne die Axiome 2'', 3'', 7'', 8'' sowie mit entsprechend eingeschränktem Vokabular) mit einem Kalkül der Aussagen- und Prädikatenlogik 1. Stufe könnte man wie folgt übersetzen:

BL $_{\rm {u}}^{\vdash}$	$A$, $B$, ...	$A_{\rm {x}}$	$B_{\rm {xy} \ldots}$	$A \leq B$	$A = B$	$\overline{A}$	$A \; B$	$A + B$
APL	$A$, $B$, ...	$A(x)$	$B(x,y,\ldots )$	$A \rightarrow B$	$A \leftrightarrow B$	$\neg A$	$A \wedge B$	$A \vee B$

BL $_{\rm {u}}^{\vdash}$	$0$	$1$	$\prod_{\rm {x}}{A_{\rm {x}}}$	$\sum_{\rm {x}}{A_{\rm {x}}}$
APL	$\neg ( A \rightarrow A )$	$A \rightarrow A$	$\bigwedge{x~A(x)}$	$\bigvee{x~A(x)}$

Wir deuten hier nur an, wie man etwa zeigen könnte, daß BL $_{\rm {u}}^{\vdash}$ stärker ist als APL, und zwar im Sinne obiger Definition 3).

Viele der üblichen APL-Kalküle haben als Axiome für die Quantoren unsere Axiome 2', 3', 7', 8' in ,,wörtlicher`` Übersetzung, daher ist diesbezüglich nichts zu zeigen.

Die verbleibenden aussagenlogischen Axiome übersetzt man und beweist sie in BL $_{\rm {u}}^{\vdash}$. Als Beispiel seien zwei Axiome eines nach Lukasiewicz benannten Systems behandelt:

$A, A \rightarrow B \vdash B$	Beweis:
		$\infer[u]{B}{\infer[5]{1 \leq B}{\infer[u]{1 \leq A}{A} & A \leq B}}$
$A, A \rightarrow (B \rightarrow A)$	Zwei Varianten:
		$\begin{array}{c}\infer[{\rm\vdash a; A~beseitigt}]{A \leq (B \leq A)}{\begin{ar... ...{B \leq 1}{} & \infer[u]{1 \leq A}{A}}\end{array}\right)\end{array}}\end{array}$
		$\infer[Satz~\ref{sets:num4})]{A \leq (B \leq A)}{\deduce[2]{AB \leq A}{}}$

Für den Nachweis, daß APL stärker ist als BL $_{\rm {u}}^{\vdash}$ kann man ähnlich verfahren, muß sich jedoch bezüglich der Deduktionsregel an das Deduktionstheorem erinnern.

Die obige Übersetzung wurde auf den Vergleich BL $_{\rm {u}}^{\vdash}$ - APL zugeschnitten. 0 / 1 könnte man auch durch    $A \wedge \neg A$,    $A \vee \neg A$   o.ä. übersetzen oder - wenn man einen Aussagenkalkül mit entsprechenden Konstanten betrachtet - durch T (= true), F (= false).

Das Urteil ,,Alle $a$ sind $b$`` läßt sich - je nach zugrundegelegtem Kalkül - verschieden ausdrücken: In BL bis BL $_{\rm {a}}^{\vdash}$ etwa durch   $a \leq b$   bzw.    $\prod_{\rm {x}}{(( x \leq a ) \leq ( x \leq b ))}$ bzw.    $\prod_{\rm {x}^{I}}{( ( x^{I} \leq a ) \leq ( x^{I} \leq b ) )}$. In Kalkülen, die stärker sind als BL$_{2}^{\vdash}$ (die ,,zweiwertige`` Begriffslogik) kommt   $a \leq b$   nicht in Frage, es bleibt nur: $\prod_{\rm {x}}{( a_{\rm {x}} \leq b_{\rm {x}} )}$   bzw.    $\prod_{\rm {x}}{( A_{\rm {x}} \leq B_{\rm {x}} )}$   in Urteilslogiken.

Insofern durch ein    $\prod_{\rm {x}}$   bzw.    $\sum_{\rm {x}}$   über Begriffe x (und erst im Spezialfall über Individual-Begriffe) ,,quantifiziert`` wird, besteht ein Zusammenhang mit Prädikatenlogiken zweiter und höherer Stufe.